将 $(a, b, c)$ 的坐标转化成 $(a-b, a-c, a+b+c)$，记做 $(n, m, k)$，方案数记做 $a_{n, m, k}$。
作其 GF $Q(x, y; t) = \sum_{n, m, k} a_{n, m, k} x^n y^m t^k$。
记 $\overline{x} = 1/x$，有方程
$$ Q(x, y) = 1 + t (\overline x + \overline y + xy) Q(x, y) - t \overline x Q(0, y) - t \overline y Q(x, 0) $$
记 $K(x, y) = 1 - t(\overline x + \overline y + xy)$，方程变为
$$ K(x, y) xy Q(x, y) = xy - t y Q(0, y) - t x Q(x, 0) $$
注意到由组合意义必定有 $Q(x, y) = Q(y, x)$，为了避免一些问题，将方程变为
$$ K(x, y) xy Q(x, y) = xy - t y Q(y, 0) - t x Q(0, x) $$
注意到 $K(x, y)$ 在 $(x, y) \mapsto (\overline{xy}, y)$ 和 $(x, y) \mapsto (x, \overline{xy})$ 意义下都是不变的，从而我们可以总共得到三个方程
$$ \begin{aligned} K(x, y) xy Q(x, y) &= xy - t y Q(y, 0) - t x Q(0, x) \\ K(x, y) \overline x Q(\overline{xy}, y) &= \overline x - t y Q(y, 0) - t \overline{xy} Q(0, \overline{xy}) \\ K(x, y) \overline y Q(\overline{xy}, x) &= \overline y - t x Q(x, 0) - t \overline{xy} Q(0, \overline{xy}) \end{aligned} $$
交错求和可以得到
$$ K(x, y) \left(xyQ(x, y) - \overline x Q(\overline{xy}, y) + \overline y Q(\overline{xy}, x)\right) = xy - \overline x + \overline y - 2 txQ(x, 0) $$
需要注意的是，如果一开始没有对方程做转化，此处需要将六个方程交错求和，且右侧会得到 $0$。
注意到 $xyQ(x, y)$ 的项满足 $x, y$ 次数均为正，$\overline x Q(\overline{xy}, y)$ 的项满足 $x$ 次数均为负，$\overline y Q(\overline{xy}, x)$ 的项满足 $y$ 次数均为负，因此
$$ Q(x, y) = \left[x^{\ge 0} y^{\ge 0}\right] \frac{1 - \overline{x^2y} + \overline{xy^2} - 2 t\overline yQ(x, 0)}{1 - t(\overline x + \overline y + xy)} $$
我们倾向于先算出 $Q(x, 0)$，即提取 $[y^0]$，这可以对 $K(x, y)$ 以 $y$ 为主元因式分解，然后将 $\frac1{K(x, y)}$ 分式分解得到。
计算留作读者练习，接下来给出结果（来自 [1]）：记 $W(t)$ 满足
$$ W = t(2+W^3) $$
我们有
$$ Q(x, 0) = \frac1{tx} \left(\frac1{2t} - \frac1x - \left(\frac1W - \frac1x\right) \sqrt{1-xW^2}\right) $$
通过 Lagrange 反演公式可以证明
$$ [x^i t^{3m+2i}] Q(x, 0) = \frac{4^m(2i+1)}{(m+i+1)(2m+2i+1)} \binom{2i}i \binom{3m+2i}m $$
现在我们考虑提取
$$ \begin{aligned} [x^n y^m t^k]Q(x, y) &= [x^n y^m] \left(1 - \overline{x^2y} + \overline{xy^2}\right)(\overline x + \overline y + xy)^k \\ &- 2[x^ny^{m+1}t^{k-1}] \frac{Q(x, 0)}{1 - t(\overline x + \overline y + xy)} \end{aligned} $$
第一项只有 $O(1)$ 个位置有贡献，第二项可以枚举分母的展开，由于限定了 $y$ 的次数所以需要枚举的只有平方级别。
时间复杂度 $O((a+b+c)^2)$。
[1] M. Bousquet-Melou and M. Mishna. Walks with small steps in the quarter plane. Contemporary Mathematics, 520:1–40, 2010.