题意可以当做是增加两个限制的三角剖分：

• 在边上的点可以不连。
• 边上的点不能连到同一条边上的点。

第一个限制是简单的，我们只需要枚举每条边上实际连了的点的个数。

去掉第一个限制后，第二个限制显得有些棘手。 但注意到由于我们是三角剖分，所以如果存在同一条边上互连的点，则必然存在一条线恰好跨过一个顶点，且其原来在边上。 所以我们考虑对这样的边容斥。而我们钦定一条这样的边，相当于是再次缩掉了一个三角形使得边数减一。

于是考虑算出每条边最终的容斥系数的 GF，乘起来就得到了总共的容斥系数，再用 Catalan 数计算答案即可。 而对于最终的一段边，若其原来包含 $j$ 段，其贡献应为 $1 - (j-1)$。其中后者是选择一个钦定的非法顶点，令这条边跨过。 从而我们要算的是 $$ \sum_{k=1}^{a_i} x^k [w^{a_i}] \left(\sum_{j\ge 1}(2-j)w^j\right)^k $$

那么核心是对所有 $k$ 计算 $$ [w^{a_i}] \left(\frac{w(1-2w)}{(1-w)^2}\right)^k $$

令 $u$ 为 $\frac{w(1-2w)}{(1-w)^2}$ 的复合逆。则根据拉格朗日反演 $$ [w^{a_i}] \left(\frac{w(1-2w)}{(1-w)^2}\right)^k = \frac k{a_i} [x^{a_i-k}] \left(\frac xu\right)^{a_i} $$

令 $v=\frac xu$。由复合逆关系 $$ \frac{u(1-2u)}{(1-u)^2}=w $$

我们知道 $v$ 满足 $$ v^2-(1+2w)v+(2w+w^2)=0 $$

从而 $v$ 是代数的，从而 $v^{a_i}$ 是 D-Finite 的。记 $f_n = [w^n] v^k$，通过 ODE 自动机可以得到递推式 $$ \begin{aligned} n(n-k)f_n &= \frac12(9n-8k-8)(n-1)f_{n-1} \\ &+ \left[2k(k-2)-\frac12(n-2)(3n-2k-2)\right] f_{n-2} \\ &+ \left[k(1-2k)+(n-3)(4k-2n+5)\right] f_{n-3} &\quad (n\ge 1) \end{aligned} $$

而 $f_0=1$，负下标为 $0$。