简要题意.

维护两个二元组集合 $U,V$，支持 $Q$ 次在某个集合中插入或删除二元组，查询 $$ \min \{\max\{u_x+v_x, u_y+v_y\}\mid (u_x, u_y) \in U, (v_x, v_y) \in V\} $$

$Q,u_x,u_y,v_x,v_y \le 2.5\times 10^5$。

没什么好几何意义，直接拆 $\max$，考虑 $u_x-u_y \le v_y-v_x$ 时取 $u_x+v_x$，否则取 $u_y+v_y$。

我们以 $u_x-u_y$ 为下标存储 $U$ 中的点，以 $v_y-v_x$ 存储 $V$ 中的点，这样只需维护左边的 $u_x$ 加右边的 $v_x$，或者左边的 $v_y$ 加右边的 $u_y$。一棵线段树维护这个分治信息即可。