是否存在正整数组 $(x,y,z)$，使 $10(xy+yz+zx)=9xyz$ 成立？若存在，求出所有正整数组 $(x,y,z)$；若不存在，请说明理由。

$\because 10(xy+yz+zx)=9xyz$

$\therefore 10xy+10yz+10zx=9xyz$

$\therefore 10 \times \dfrac{1}{x} +10 \times \dfrac{1}{y} +10 \times \dfrac{1}{z} =9$

$\therefore \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{9}{10}$

不妨设 $x \leq y \leq z.$

又 $\because x,y,z>0$

$\therefore x,y,z>1$

则 $\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{z},$ $\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{10}.$

$\therefore x<4.$

分类讨论如下：

$1^\circ \, x=2:$ 代入原式，得

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{9}{10}$

则 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{5}$

有 $\dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{5}.$

$\therefore 1 < y \leq 5.$

$\text{I.} \quad y=2:$ 代入上式解得 $z=-10. (舍)$

$\text{II.} \quad y=3:$ 代入上式解得 $z=15. (\sqrt{})$

$\text{III.} \quad y=4:$ 代入上式解得 $z=\dfrac{20}{3}.(舍)$

$\text{IIII.} \quad y=5:$ 代入上式解得 $z=5.(\sqrt{})$

$2^\circ \, x=3:$ 代入原式，得

$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{9}{10}$

则 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{17}{30}$

有 $\dfrac{1}{y} \geq \dfrac{17}{60}$

$\therefore 3 \leq y<4.$ 则 $y=3:$ 代入上式解得 $z=\dfrac{30}{7}. (舍)$

综上所述，$(x,y,z)=(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),(2,3,15),(2,15,3),(3,2,15),(3,15,2),(15,2,3),(15,3,2).$