对图建立 kruskal 重构树，则询问 $[l,r]$ 的答案即重构树上所有点点权和减去区间内的点两两 LCA 构成的集合的点权和。

对于每个点考虑它会在哪些区间内作为 LCA 被算到。设 $u$ 被 $[l,r]$ 算到了，说明一定存在 $(x,y)$，使得 $x,y$ 在 $u$ 的不同子树内，且 $l\le x\lt y\le r$。我们可以忽略被偏序的 $(x,y)$，即对于所有 $x$，只需要找大于它的最小的 $y$，对于 $y$ 同理。

为了找到 $u$ 对应的 $\{(x,y)\}$，使用树上启发式合并。由于 $x,y$ 中至少有一个点属于 $u$ 的轻儿子子树，所以只需对每个轻儿子的子树内的点 $v$，求出其它子树内 $v$ 的前驱后继即可。可以使用 set 操作实现。

问题变为对于每个 $u$，覆盖二维平面上若干矩形，被覆盖到的地方整体加某值，最后询问若干点的值。可以扫描线实现。